品距计算方法，摆脱品距计算器
总是可以看到有DIY同好在找品距计算器，其实它的计算方法并不复杂，写个帖子简单说说和大家分享一下。需要说明的是这个方法是基于个人理解的，不过和成品的品距计算器软件对比过，结果是一样的。如果有什么谬误之处，还请高手指点~温馨提示，不喜欢看理论的朋友请直接跳转到第10自然段。
请注意，以下的讨论基于十二平均律。
先介绍一下等比数列的概念，一列数，依次前一个数除以后一个数得到的商都相等的这个数列，叫做等比数列。而这个商叫做等比数列的公比，这列数的第一个数叫首项，最后一个数叫末项。比如1 2 4 8 16，就是首项是1，公比为2的等比数列。
首先我想介绍一个基本知识，就是音高和频率的关系。在音高上八度的关系就是频率上倍频的关系，也就是说相差一个八度的两个音频率相差一倍。比如国际A音是440Hz，那么比他高一个八度的A音就是880Hz，比它低一个八度的A音就是220Hz。换句话说，依次增加一个八度的一列音，它们的频率是公比为2的等比数列。
放在吉他上，在同一根弦上，音高的变化或者说振动频率的变化是由振动弦长决定的。这之间的关系，就是振动弦长和振动频率成反比，也就是说音高提高一个八度，频率增加一倍，而弦长减半。不信的朋友可以用尺子量量自己的琴，看看12品品丝到琴桥的长度是不是空弦长度的一半，而24品到琴桥的长度又是12品到琴桥的长度的一半。再换句话说，在吉他的同一根弦上，依次增加一个八度的一列音，它们的振动弦长是公比为0.5的等比数列（当然即使是24品琴，同一根弦也只能增加两个八度，我只是举个例子）。
其实这种等比数列的关系不只限于八度，在十二平均律中，依次增加固定音程的一列音，它们的振动频率也是等比数列，只不过公比不再是2，而是由这个固定音程决定的某个值。如果这列音在同一根弦上，那它们的振动弦长也是等比数列，而这个公比和频率的公比互为倒数。
好了，下面我们可以落实到品距的计算问题上了。首先很容易理解，品距的计算和每一品的振动弦长的计算是一回事，品距只是相邻两个振动弦长的差。而计算每一品振动弦长的问题，换成上面的讨论方法来说，就是计算在同一根弦上依次增加一个半音的一列音的振动弦长。根据上面我们知道，这一系列弦长一定是一个等比数列，而空弦弦长我们是知道的（648或628或其他），那么我们只要计算出这等比数列的公比，就可以计算出每一个弦长了。
还有一个已知条件，就是一开始我们说到的，增加一个八度的弦长会减半，也就是弦长是原来的0.5倍。那如果把这个八度平均分成12份，就是十二平均律，那么就是说12个半音的弦长之差加起来一共是0.5倍，那么每一个半音的弦长之差，不就是把这0.5倍再平均分成12份吗。不过注意，这个平分可不是把0.5除以12，因为我们计算的是等比数列而不是等差数列，等差数列求公差才是用除法。我们要算这个平分12份的结果，其实也就是求半音音列弦长等比数列的公比，应该是用0.5开12次方，或者说0.5的(1/12)次方。用这样的方法求到公比，再由空弦弦长即等比数列的首相，就可以求到每一品的弦长即等比数列的每一项，再由每一品的弦长就可以算出每一品的品距。
现在我们就开始实例计算了！
首先求公比，也就是上面说到的0.5开12次方的值。以电脑windows系统自带的计算器为例，点“开始菜单”—“程序”—“附件”—“计算器”，如果这时打开的计算器窗口是个小正方形而不是大长方形，那就点“查看”—“科学型”，这时计算器变大了。依次点击“0”—“.”—“5”—“x^y”—“（”—“1”—“/”—“1”—“2”—“）”—“=”这几个键，求出我们的公比，应该是大约0.9439这个样子，然后按“MS”，把这个结果记忆下来。然后在计算器里输入你需要计算的空弦弦长（以648为例），输入648，然后点“*”，再点“MR”，再按=号，就出来了第1品的振动弦长，再按一次=号，出来的是第2品的，以后再按=号依次出来第3 4 5 6……品的弦长。用笔把它们记下来：
648611.63577.30544.90514.32485.45458.21432.49408.21385.30363.68343.27324305.82288.65272.45257.16242.73229.10216.24204.11192.65181.84171.63162
然后依次用前一个减后一个，就得到了每一品的品距：
36.3734.3333.3030.5828.8727.2425.7224.2822.9121.6220.4119.2118.1817.1716.2015.2914.43
13.6312.8612.1311.4610.8110.219.63
同理对于628弦长，每一品的振动弦长是：
628592.75559.48528.08498.44470.47444.06419.14395.62373.41352.45332.67314296.38279.74264.04249.22235.23222.03209.57197.81186.71176.23
每一品的品距是：
35.2533.2731.4029.6427.972**124.9223.5222.2120.9619.7818.6717.6216.6415.7014.8213.9913.2012.4611.7611.1010.48
大结局，谢谢观赏~
[ 本帖最后由 裂空雷痕 于 2010-4-22 11:19 编辑 ] 好大的沙发，必须要顶 鸣谢雷爷！~一个谢字怎能表达我心中无限的情感！ 雷哥正解
有空跟你学学效果器 学习了.
雷知识面很广. 辛苦了，科普知识。 晴空霹雳一声雷 果然不同凡响 好看的文章，好大的雷声。 好强大，我看不如用Excel软件来计算。
很早以前就开发了一个这样的Excel计算文档 嗯，松爷说的也是，我自己写完都觉得自己多余，有现成的软件何必深究。就当我做做科普好了，有充足的忍耐力的朋友愿意看可以看看，只要有一个人觉得这帖对他有用也就还算我没白写。 不过这个帖子我自己也要学习一下。
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我只知道，但是从没去想过公式怎么来的。
我记得高中学吉他的时候，那时候根本没接触过制作方面，也根本没想过。只是知道这每一格的长度是有规律的，但是没法用数学弄的出来，跟老师说，也没法说的清楚明白。
后来在书本上看到一个公式，知道怎样去应用，但一直不知道那个常数的来由，不知道那个常数是怎样推算出来的。
谢谢大哥的帖子！！！！！
[ 本帖最后由 antonfung 于 2010-4-24 21:53 编辑 ] 松爷客气，有空多交流~ 看到我眼花了...
不错，学习了~~
这个得人工置顶
收藏了，这个贝司也同理吧！ 請問一下，648指的是有效弦距嗎？是從弦枕的凹槽到拉板上的距離？每一條弦都一樣？品絲位置也是以MM計算？容許多少的誤差量呢？
如果製作過程中疏忽多了1mm或少了1mm，對吉他整體而言會有什麼影響？
新手問題 敬請見諒 知识就是力量阿！ 太好了，谢谢lz！！！ 正解，这个思维方式太强了
原帖由 kurenai6210 于 2010-6-20 04:51 发表 http://bbs.guitarschina.com/images/common/back.gif
請問一下，648指的是有效弦距嗎？是從弦枕的凹槽到拉板上的距離？每一條弦都一樣？
品絲位置也是以MM計算？容許多少的誤差量呢？
如果製作過程中疏忽多了1mm或少了1mm，對吉他整體而言會有什麼影響？
新手問題 敬 ...
648 是有效弦长，其实以648mm 称呼本身就不准确，如果是刻意追求25.5 in 的音色的话，还是以 inch计算比较精确。
误差影响音准的问题很好理解。
这样，假设我们在做一把吉他，1st fret为35mm，我们知道每个semi tone可以分为100个cent，在吉他上one fret为一个 semi tone。
换句话说一品有100个cent，0.35mm为一个cent。根据一般经验，经过训练的音乐学生一般可以区分的音高差异为12个cent，拥有绝对音感的音乐家，如马友友之类的变态分辨音高的精确度可以达到8个cent。我们以8个cent为例，那么要在音准上达到8个cent的差异，fret与nut的距离差距应该有2.7mm。
当然2.7mm对于第一品来说是可以容忍的误差，但是我们再接下去算，假设20th fret为21mm。
因此得出0.2mm为1个cent，因为当第一个fret存在误差时，假设其他fret都没有相对误差，那么以intonation为基准的每一个fret的绝对误差都会增加至2.7mm，2.7mm即可得到13.5个cent的误差。
对于普通人类来说，这个pitch uncertainty 完全可以使听感不适。
所以，在制作琴的时候，当然误差越少越好。但是一定要有个误差可控制范围的话，计算最小间距的fret可容忍的误差，除以你要制作的fret的数量，如24，22，21等，即可得到每个fret的最大可容忍误差数值。
希望对你有所帮助。 不好意思，晓月再多废话几句。
晓月曾经看到过一篇叫"The Bach/Lehman "1/22" Temperament"的文章，详细讲解了音准与temperament的关系。主要是基于1806年Christian Fredrich Daniel Schubart发表的"Affective Key Characteristics"，当然后来我听说AKC的基本思想方法其实是来自Edward Foote的"The Well-Tempered Piano"。我不明白钢琴的12种调音到底是如何工作的，所以我就简单解释一下所谓的1/22 temperament的基本思想。
事先声明一下，1/22 temperament不是J.S.Bach发明的，而是Dr.Bradley Lehman，Bach只是用这种方法为Das Wohlteperirte Clavier调音，因而得名。
这种调音方法是在十二平均律的基础上与人类的听感需求之间作调整，追求Major Third 的稳定而舍弃F的数学上的准确。在equal temperament中，最为稳定的Major Keys 是 F, G, B Flat, C, 和 D，而最为稳定的Minor Keys是E, F Sharp, A Flat, A, B, 和 D。所谓稳定是指从数学级数关系上确认出来的，因为具体的听感因人而异，所以以数学计算比较客观，也好参考。
于是Anders Thidell，便得出以下两种计算，并相应地应用在他自己的两把吉他上：Die Wohltemperirte Gitarre和Thidell Formula 1，其中运算方法是他的机密，他只列出了运算的结果，单位为cent。
Die Wohltemperite Gitarre:
E -2;
F +7,8;
F# -1,4 (+2);
G +3,9;
Ab +0,2 (+3,9);
A 0;
Bb +3,9;
B 0;
C +5,9;
C# +1,4 (+3,9);
D +2;
Eb +0,6 (+3,9);
Thidell Formula 1
E -2;
F 0;
F# -4
G +4;
Ab -4;
A 0;
Bb -4;
B -1;
C +2;
C# -4;
D +2;
Eb -4;
具体的出处地址我也不太方便找到，我的database不在身边，不过如果按照上面提到的几个名字去找的话应该可以找到。
呼...
[ 本帖最后由 晓月 于 2010-7-5 18:30 编辑 ] 饿，，，听说那个频率增加一倍，声音高八度的公式，在高频和低频的时候是有一点误差的，，，在调钢琴时，据说很明显……不过记不清了，，好像是高频的时候八度要大于二倍频率的，，，，不知吉他中是不是也有这个……
回复 23# 晓月 的帖子
“648 是有效弦长，其实以648mm 称呼本身就不准确，如果是刻意追求25.5 in 的音色的话，还是以 inch计算比较精确。”这两种的声音差别，比同样固定值的弦长，而用009或010琴弦的差别小一千倍，所以呢，648和25.4“的差别追求意义不大。
另外不同粗细的弦长同一个地方的”格子“的音的准度都是有差异的，琴桥的弦长补偿调节只是一个大概。
回复 26# antonfung 的帖子
例如LP式的固定調節拉板嗎？可旋轉螺絲調整弦長，改變八度音的那種。一般的鋼尺精度也只到0.1MM呢，劃線時肯定也會有誤差，既然如此，依照曉月兄的說法，那些品絲位置整數後的小數點，也就沒什麼意義了？
先謝謝antonfung跟曉月兄的回答了！
[ 本帖最后由 kurenai6210 于 2010-7-10 17:46 编辑 ] 今儿可长见识了啊，支持 长见识了 研究得很透彻啊 长知识！！！！！！！！ 很有水準的一個帖~~
音準這種東西~~其實真的很客觀~
有誰能聽到這麼準的~
一般的調音器也分成不過幾個等分~
而且調完音以後~很快又會跑掉
我看過安迪提姆斯的很多表演
再每一首歌都會調一次~
而且在按弦的時候還可以在補正那個音準~
我也不知道講的對不對~
請見諒 路过学习了，感谢 留个脚印回家在看 那些做假琴的 和做两三百练习琴的怎么不来GC逛逛，。。。。。。害了多少孩子啊 很强大，一般一般人看不懂的东西，都是NB的东西，就像那个什么爱因斯坦的相对论 长见识了，好贴 感谢 谢谢分享 数学肯定优 很好，很强大
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