弦振动的能量
弦振动的能量关系，我们可以写出每的振动动能为
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image246.gif
因而整个弦的动能为
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image247.gif（ 2-3-38 ）
弦的位能可以由弦发生位移时克服张力所做功来计算。假设弦发生位移后元段 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image117.gif被拉长了，变为图 2 － 3 － l 上的弧线 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image248.gif。因为已假设位移很小，所以弧长 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image248.gif可以用其弦长 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image249.gif来近似代替即
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image250.gif
当弦发生位移后，元段伸长为
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image251.gif
考虑到 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image252.gif为微小量，即 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image253.gif，利用级数展开，并保留级数的前二项可得
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image254.gif
所以当弦伸长时，张力 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image120.gif所做的功就等于
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image255.gif
它应等于元段 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image117.gif所贮存的位能，于是整个弦所贮存的位能为
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image256.gif（ 2-3-39 ）
由此可得弦振动时的总能量为
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image257.gif（ 2-3-40 ）
我们将（ 2 － 1 － 32) 式代入，由于
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image258.gif
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image259.gif
在利用正弦函数与余弦函数的正交性质，就可求得
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image260.gif（ 2-3-41 ）
其中
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image261.gif（ 2-3-42 ）
代表第 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image201.gif次振动方式的能量。
如果应用前面讨论过的在初始时刻中央位置被拨动的例子
可得
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image262.gif
由此可以算出弦的总能量为
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image263.gif
弦振动所具有的总能量是在初始时刻外界传递给它的。我们将描述初始时刻振动状态的 （ 2-3-37 ） 式代人 （ 2-3-40 ） 式便可算得弦在初始时刻从外界获得的初能量。计算结果也等于 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image264.gif，两种结果完全相同，这是能量守恒定律所预期的。
以上弦振动的讨论是以两端固定为边界条件作为例子的。弦振动一般可以不限于此种固定的边界条件。例如对于弦乐器，由于一般弦很细，其振动所辐射的声能量效率很低，通常就要通过弦的某个支点，例如琴马，将其振动传递结面积较大的板或膜，以提高其声辐射的效率。那么那些支点是不可能完全固定的。从物理上讲，弦的支撑点可以是有质量负载的、弹性支撑的，经受阻尼作用的，甚至是近似自由的。这些边界条件在数学上可以依次表示成：
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image265.gif
其中 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image266.gif分别代表质量，弹性系数和力阻，不同的边界条件可以产生不同的振动模式和状态。例如一端固定，一端是质量负载的弦，它所产生的弦振动不仅其基频会与两端完全固定情况有偏离，而且其泛频也会表现出非谐频性质。
[ 本帖最后由 北京老于 于 2014-2-12 14:46 编辑 ] 发个拨弦的方程，X0是拨弦点，L是弦长，纵轴是位移量
,
则弦上时间和每点的位置的方程是
半个振动周期均分5等份的振动图形如下（拨弦位置在1/2L，1/5L，1/9L处）：
5
[ 本帖最后由 都市蜉蝣 于 2014-2-12 14:56 编辑 ] 弦的振动方程 （ 2-3-5 ） 是一个二阶偏微分方程，它的解应是两个独立变量 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image115.gif与 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image136.gif的函数。假设该方程的解具有下列形式
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image137.gif（ 2-3-6 ）
这里 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image138.gif与 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image139.gif分别代表包含宗量 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image140.gif或 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image141.gif的两个任意函数。把这解代入可以证得，它确是满足方程 （ 2-3-5 ） 的。
我们先研究函数 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image138.gif的物理意义。设 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image142.gif，当 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image143.gif时， http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image144.gif。如果这时我们观察曲位置为 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image145.gif，那么 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image146.gif。在此后经过 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image147.gif的时间，我们的观察点移到了 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image148.gif，这时弦的位移就变成 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image149.gif。如果 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image150.gif，即在经过 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image136.gif时间，在 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image151.gif处我们将观察到与原来 ( http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image152.gif) 的状态。这时应该满足 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image153.gif，由此得到 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image154.gif这就表明，在 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image152.gif时弦的位移状态，在经过 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image147.gif的时间后没有变化地向正 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image115.gif方向移动到了 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image151.gif点，其移动速度为 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image155.gif。因此 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image138.gif称为一种波函数，它代表了一种以传播速度 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image155.gif向正 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image115.gif方向传播的波动过程。如果 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image156.gif正好是弦的振动经过一个振动周期酌时间，即 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image157.gif，那么 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image151.gif与 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image158.gif相隔的距离就为一个波长 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image159.gif。可以通过类似的讨论指出，函数 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image160.gif代表的是一种以传播速度 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image155.gif向负 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image136.gif方向传播的波动过程。
从以上讨论可知，弦中的振动传播速度为
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image161.gif（ 2-3-7 ）
即弦振动的传播速度是一个仅同弦的固有力学参量有关的常数。弦的张力 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image120.gif愈大 ( 即弦张得愈紧 ) 或线密度 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image098.gif愈小 ( 即密度愈小或截面愈细 ) ，传播速度 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image155.gif就愈大；反之张力 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image120.gif愈小或线密度 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image098.gif愈大，传播速度就愈小。
在上面的弦振动一般解中，出现了两个不同方向传播的波函数。这就是说假设在初始时刻，对弦某位置施加一扰动，则这一扰动就会向两个相反方向传播。一般说弦总是有界的，例如弦的两端被固定，因而在端点处，这种传播着的扰动会被反射回来。如果弦的两端固定，这就是指在边界处弦的位移等于零，己知弦的长度为 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image162.gif，因而可以写出弦的边界条件为
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image163.gif（ 2-3-8 ）
把此条件代人 （ 2-3-6 ） 式可得
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image164.gif（ 2-3-9 ）
以及
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image165.gif（ 2-3-10 ）
从 (2-1-9) 式可以看到，在上述边界条件下，描述弦振动函数是形式相同而符号相反。由 (2-l-9) 式可推广为
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image166.gif（ 2-3-11 ）
将此关系式代入 (2-1-10) 式可得
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image167.gif（ 2-3-12 ）
我们引入一个新变量 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image168.gif，则上式可改为
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image169.gif（ 2-3-13 ）
这式表示，函数 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image170.gif是以 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image171.gif为周期的周期函数。这就是说，在有界弦中，在同一时刻在整个弦上进行着的振动具有一定的空间周期性规律，即有界弦将形成驻波。
[ 本帖最后由 北京老于 于 2014-2-12 15:19 编辑 ] 原帖由 北京老于 于 2014-2-12 14:13 发表
弦自由振动的一般规律2400439
举一例子，设在 http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image143.gif时，在中央位置
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/16/ElectronicBook/2/pics/image239.gif ...
发全了被。。这几个变量不知道啥意思 表达式也缺少啊。。看的我这个纠结 我怀疑老于是中国科学院的！ 用数学证明这事，在网上一搜结果多的是，大家搜搜看看。其实都是基础学科已经证明的东西了，大家别为这事情上火。越说越多里面需要解释的概念越多，越说越复杂，还是自己百度去找吧。扯远了。。
[ 本帖最后由 北京老于 于 2014-2-12 15:00 编辑 ] 《振动学基础》，理工科尤其电子专业的，音响工程的，是必修基础课程。
[ 本帖最后由 北京老于 于 2014-2-12 15:03 编辑 ] 原帖由 都市蜉蝣 于 2014-2-12 14:53 发表
我怀疑老于是中国科学院的！
我是坐家，家里蹲大学毕业。。。。。。。哈 原帖由 北京老于 于 2014-2-12 15:07 发表
我是坐家，家里蹲大学毕业。。。。。。。哈
看来感性的东西，需要用感性的语言表达好点。太科学化了，就象形容人长得太科学了一样。 这玩意感性说不清啊，既然提到振动方程式，就不能不提弦的振动原理。 长太多见识了 也来凑个热闹，有一个非常重要的原因：知道和做到之间，还有很长的路要走，如果练习不得法，甚至很久都走不到。 原帖由 MidNiter 于 2014-2-12 13:09 发表
有点不喜欢这种避重就轻、腾挪闪避的游移不定，感觉有点为面子而强辩的口舌之争。科学的的东西，客观和严谨不能忘，诚实和尊重前人的态度更是重要。如果没法保证，建议最好说清，这只是您自己拍脑袋拍出来的“新” ...
哈/你愿意/你愿意和他争
你看有人与他交流么 真心理他么？都拿他当笑柄捧着玩儿 增加份茶余饭后乐趣 哈哈看一笑话
有恶捧的，有抹稀泥的 往死里耍他。。不是人心邪恶。是因为他自己已然把自己当吉他权威教授了，发言一律争强好胜 权威口气/那么正好 越权威越有乐儿。。。大家就围坐台下热烈鼓掌看表演。挺可怜可悲的。。
看到这他可能心里不愉快，但几年后会感激我说的这些。。
说个题外话 国人信忽悠 盲从 好忽悠/
每年查处大批伪专家 大师，讲座 收徒，售书，海量信徒，尽管专家近几年名声下滑/但架不住中华大地人口多，你不信 有人信 不愁没有最迂腐 只有更迂腐。
电视购物 保健品治百病 永远不缺销路 就算99%有理性 有一个捧场 大喊受益匪浅就足够了。这些里有明知顾纵的江湖帮手，有真泪留满面感激的 有人云亦云的群众。
这张图片是“带功讲学”80年代 一群人花大价钱买大师开光过的信息锅，带上听课就能治百病。。悲么？心酸？
别笑，这事就算在今天重演，照样有人信！一样买账，而且锅卖得更贵！
[ 本帖最后由 河岸 于 2014-2-12 18:23 编辑 ] 振动体有一个基频和多个谐频的规律，不只在弦上存在，而是普遍的现象。但基频相同的各振动体，其各谐频的的能量分布可以不同，所以音色不同。另：刚性弦振动是啥？
刚性
gāng xìng
1、坚强的性格；刚强的气质：一个男子汉应该有～。
2、坚硬不易变化的（跟‘ 柔性’相对）：～物体。
3、不能改变或通融的（跟‘ 柔性’相对）：～指标。
所谓刚性是指两个物体相碰撞不会发生变形，因此两个刚体就不会占据同一个空间，微粒、原子就是这样的物质。
现代家具制造工艺术语。系家具在静力负荷作用下，抵抗变形的能力。
工业中，机械刚性，也是一个机械的重要指标。
4、在数学中，刚性方程是指一个微分方程，其数值分析的解只有在时间间隔很小时才会稳定，只要时间间隔略大，其解就会不稳定。目前很难去精确地去定义哪些微分方程是刚性方程，但是大体的想法是：这个方程的解包含有快速变化的部分。
[ 本帖最后由 北京老于 于 2014-2-12 19:31 编辑 ] 原帖由 xyjdn 于 2014-2-12 20:05 发表
你丫的就一260，呵呵
这论坛是你家开的吗？别人说啥，用什么口气说话要经过你批准吗？
看得惯就看，看不惯就滚一边去，没人请你进来。
去看病去吧。
乖/ 老于和蜉蝣以微积分服人
回复 61楼 M1961 的帖子
看不懂微积分，哪来的服啊？ 弹古典吉他其实很简单的，不就是喜欢吗。既然喜欢那就互补！ 原帖由 qwertqwerta 于 2014-2-12 20:59 发表看不懂微积分，哪来的服啊？ 我看不懂自然有人看得懂 论谈真自由，但是你弹吉他那是真功夫，有时候感觉真希望会面一下真正喜欢弹琴的实在人。 想要音色好，好像要用把好琴才是前提 大家有话好好说，别动气。同时也请别用马甲助威。谢谢合作！ 晕。我晕。
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